2008/04/18

El Límite y las fábulas de Zenón

Entrar a la universidad en Nicaragua es empezar el estudio del cálculo (infinitesimal, diferencial, integral), que es como decir la matemática de los mayorcitos. Y especialmente en las carreras de ingeniería, los conceptos aprendidos en cada una de las etapas que se van superando cada año se involucran en el resto de las áreas de trabajo, aunque no siempre se puede observar esa relación entre lo abstracto y lo real.

Y es que hablar de cálculo es hablar de muchos dolores de cabeza para mucha gente, con conceptos como derivada, integral, limite, nombres de letras griegas y operaciones complicadísimas que al final no lo llevan a uno a nada concreto. O así parece. Por suerte tuve algunos profesores buenos (así como malos hay muchos) que supieron darle interés a la materia y utilizaron ejemplos "de la vida real" que reafirmaban los conceptos aprendidos pero también les daban vida, sentido.

Pues bien, sucede que hasta hace muy poco (digamos, unos días) pude por fin comprender uno de los conceptos básicos más importantes y presentes en mis clases de Cálculo, El Límite y voy a tomar de la wikipedia su definición:

Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos



si se puede encontrar x suficientemente cerca de p tal que f(x) es tan cerca de L como se quiera. (p puede ser finito o infinito.) Es decir, el límite es L si f(x) tiende a L cuando x tiende a p. Más precisamente, decimos que:



En la primera clase ESTO es lo que te enseña el profesor. Y le di vueltas en la cabeza una y otra vez pero no logro ENTENDERLO. Y desafortunadamente mi cerebro se rehusa a trabajar conceptos que no entiende, no me gusta hacer las cosas mecánicamente. Todo habría sido distinto si mi profesor hubiera empezado la clase contándonos esta historia (también tomada de la wikipedia):

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Esta fábula fue escrita por Zenón de Elea, filósofo griego que niega la existencia del movimiento, como parte de la escuela de Parménides. Claro está que nuestro amigo Zenón no conocía en ese tiempo el concepto de límite, pero tampoco lo habría visto muy claro de no ser que si analizamos un poco mejor el "problema" descrito podemos traducirlo a una mejor aproximación:

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

¡Cómo se me hace tan claro ahora! Si siempre sacamos la mitad de la distancia entre un punto y otro nunca vamos a llegar a nada, porque hay una cantidad infinita de estas subdivisiones. Pero al final, la suma de estas sí existe, y es finita, y es el objetivo, la meta, el árbol.

Creo que mi profesor de cálculo debería leer las fábulas de Zenón

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